掛け算の順序問題(超算数)論争にSNSで参加してみた~なぜ炎上するのか、その理由と決着に関する考察

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前提

  • 掛け算の順序問題とは何かについては論じない(wikipedia[1]に歴史や用語がよくまとまっている)
  • 本内容は実際にSNSで論争に参加して得た知見である
  • 著者は順序あり派に属する(でも順序強制はやり過ぎというのも分かる)
  • 順序あり派全員を擁護するものでも順序なし派全員を批判するものでもない
  • 本記事を理解するのに大学数学などの高度な知識は不要
  • 教育的にどうあるべきか、児童の発達具合や経験値にどう配慮すべきか等を論じる立場にない

結論(というか要約)

掛け算の順序問題に関する論争がTwitter(現X.com)にて泥沼のように続いている。私はこの論争に首を突っ込み、様々な主張を現場で把握した。

この論争のほとんどは掛け算の順序(=掛け順)の存在を認めることが数理哲学的に正しいことを示せれば決着できる。論点のほとんどはここから派生したものだからだ。

そこで、順序なし派の「掛け算の順序の一方だけを正しいと押し付けるな(=順序強制するな)」という主張は現代数学的に誤りであることを示す。ただ、これは数理哲学的な正しさに関する話であって、教育的配慮として順序強制をどうすべきかなどということに言及していないことを強調しておく。この議論の本来の主眼は教育についてだと思う。故に、プロの数学者の間でさえ意見が分かれるのは同然である。

順序なし派が順序強制を数学的な誤りだと判断する典型的な流れは以下である。

  1. 掛け順はどちらでも採用できるのにその一方を否定するのは数学的真理の普遍性に違反する
  2. その証拠に\(a \times b \)と\(b \times a\)は等価であり、掛け算に正順と逆順の区別が存在しないことが交換法則から分かる
  3. よって、掛け順の一方を正とすることは誤りである

しかし、この論証は以下のように否定できる。

  1. 数学的真理の普遍性は否定されており、現在では数学的な正しさとは定義や論理の出発点の選び方に依存した条件付きの真理として格下げされている
  2. 交換法則は計算結果が等価であるという意味であって、\(a \times b\)と\(b \times a\)は異なる式であるため、順序なし派の交換法則の認識は等価と同一を混同しており誤りである。

以降では詳細に入り、掛け順を一方に定めることは数学的に間違っていないことを示す。

論争が終わらない理由

掛け算の順序問題は順序あり派(or 順序固定派 or順序強制派 or 掛け順派)と順序なし派(or 順序自由派 or 順序否定派)の戦いである。両派閥とも一枚岩ではなく、数学に詳しい人からそうでない人までが混在している。専門的な話題とは違って、小学校で算数を習った人すべてが議論に参加できるために間口が広い。

参加の敷居が低いことは論者間での知識量や口のうまさ、論理力などのばらつきが大きいことを意味する。そこに目をつけた数学自信ニキや論破厨は議論をかき乱し、不毛な罵り合いのTLを撒き散らしている。その結果、掛け算の順序問題の決着は遠ざかり、他のSNSユーザからヤバイ奴らの界隈と認定されるに至る。

(追記)このブログが炎上しました。なぜこんなにも過激な論争が続いてる一因が分かった。
順序なし派は徒党を組んでいて、順序あり派の主張を探し出してはリポスト・いいねをし合って人員を集め、順序あり派というだけで袋叩きのリンチする。現代の魔女狩りみたいなものだ。
後述するが、区別の多さは高い理解度の指標となる。順序を区別しない順序なし派の方が順序あり派よりも間口が広く、より悪質な層をかかえていることがこの炎上から分かった。

多様な参加者においてどこを問題視するかという視点も多岐に渡り、数学的な正しさの観点や教育的な観点、マイノリティへの配慮などの政治的な観点などの様々な観点から順序の必要性について同時に議論されているため混迷を極めている。

順序なし派の2つの誤り

特に数学的な正しさに関して大学数学に詳しいレベルの人同士の間でさえ意見が割れている点が問題の根深さの核心である。順序の有無どちらかが数学的に正しいことが結論できれば、ほとんどの枝葉の議論は解決される。誤りを教えることを肯定するのは難しいからだ。

そこで、数学に詳しい順序なし派でさえ犯している数学的正しさに関する認識の誤りが2つ存在することを指摘する。

  1. 数学を普遍的真理に関する学問であると勘違いしている
  2. 交換法則において等価と同一が区別できていない

ただし、これは順序なし派が全員間違っていて、順序あり派が全員正しいということを意味しない。順序あり派となし派の主張両方に誤った論拠が存在する。

では、この2つがどうして誤りなのかを示す。

数学は普遍的な真理ではない

数学は自然科学よりも優先される強力な真理と素朴に考えている人がほとんどだと思うので、数学の普遍性の否定をトンデモとして受け容れられない方が多いだろう。大学数学に堪能な人でさえそうである。

現代では数学を普遍的真理ではなく、どの定義を採用したか、論理の出発点に何を選んだかという前提に依存した条件付き真理だと見なす立場にある。
これは同じ前提から妥当な論理を積み重ねれば誰もが同じ結論に辿り着くという意味では普遍的であるが、数学を絶対的・普遍的真理と捉えていた旧来の見方とは異なる。この微妙なニュアンスの違いが混乱のポイントである。

数学的普遍性の反証

数学が条件付き真理として格下げされるきっかけの1つはあのアインシュタインの一般相対性理論である[3]。この理論は現実世界の空間が歪んでいることを発見した。
それ以前では空間は算数や中学の数学などで習う「平行な直線同士は交わらない」とか「平行線を横切る直線の錯角は等しい」というルール(=ユークリッド幾何学)に従っていて歪んでいない考えられていた。そのルールには何も矛盾するところもないし、現実世界をよく表しているように見えたからだ。

この歴史的事実は素朴な数学的普遍性の反証であり、無矛盾かつ現実をうまく説明できる理論であっても間違い得ることを示している。

条件付きの真理と科学的真理の違い

いや、ユークリッド幾何学は間違っていたのだろうか。現実世界の厳密なモデルとしては不適切だったが、相対論が効くような条件以外では依然として世界をよく表しているし、無矛盾な理論であるという意味でも間違っていない。

ただ間違いなく言えるのは、ユークリッド幾何学はその前提に立てば誰にとっても正しいということだ。この消極的な正しさを条件付きの真理と呼んだ。

科学も数学並みに強力な真理である。しかしそれらの真理の性質は異なる。
科学理論は現実を説明する精度を比較することで正しさの優劣を比べることができる。一方で数学理論は同じ前提に立てば誰もが同じ結論に至るという意味で同じであり、正しさに優劣はない。

科学的正しさと数学的正しさを混同すると、算数よりもより高度な数学の方が正しいという発想が生じ得る。数学は算数より一般的ではあるが無矛盾である限り正しさに優劣はない。

数学の「ならば」の定義

前提の正しさと結論の正しさ、その推論の正しさの関係は数学的に「\(\Rightarrow\)」という記号で定義されている。日本語でいう「ならば」である。前提を\(P\)、結論を\(Q\)、推論を\(P \Rightarrow Q\)とおくと以下の表で表せる。

\(P\)\(Q\)\(P \Rightarrow Q\)
表1.「ならば」の数学的定義

前提が間違っている場合の③と④に着目してほしい。その場合であっても、その推論\(P \Rightarrow Q\)は正しいのだ(なぜこのような一見受け入れがたい定義を数学は採用しているかの詳細はこちら)。

よって、仮に掛け算の定義が間違っているとしても、そこから構成された算数は間違っていない。
①のように前提が正しくて結論も正しいような推論のことを「妥当な推論」と呼ぶ。これに倣えば、①と②の定義を「妥当な定義」と呼ぶ。

順序なし派は「一方の順序を採用した算数の掛け算の定義は妥当ではない」と指摘すべきだったのだ。
仮にその定義が妥当でなかったとしても、出発点が間違っているだけで妥当な推論が積み重ねられて構成された算数は間違っていないのだ。

掛け順の有無は算数の掛け算の定義次第

文科省の指導要領解説[2]には以下のように掛け算の定義例が載っている。これは同数累加と呼ばれている。

乗法は,同じ数を何回も加える加法,すなわち累加の簡潔な表現と
も捉えることができる。言い換えると,(一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ
分かに当たる大きさ)と捉えることができる。

この定義を採用した場合、掛け算の1項目と2項目の値を入れ替えると意味が変わることが分かる。近接した対象をグループと見做して1つ分を理解するのが自然なので、\(3 \times 4\)は3本耳のウサギが4羽、\(2 \times 8\)は2本足のタコが8匹みたいに読めてしまう。

この例は順序なし派がめちゃくちゃ非難しているが、条件付きの真理の話と同様に誰もがこの定義に従えばこういう解釈になるというだけで何も矛盾はない。たしかに奇妙な解釈であるが、この定義を改めるように批判するだけにとどまるべきである。奇妙な定義から奇妙な解釈が出てきただけで何もおかしくないからだ。

順序なし派の典型的な批判は「一方に定義を決めることはできない」や「そもそも掛け算に順序は存在しない」などであった。しかし、定義に何かを採用することは常に可能であるため、この主張は間違っている。

定義に何を採用したかが大問題であることを繰り返し述べてきた。順序あり派が定義にこだわるのはそのためである。

順序なし派の交換法則に関する認識の間違い

順序なし派のもう一つの典型的な間違いは交換法則であった。これは「交換法則によってどちらの順でも同じなのに、片方をマルでもう片方をバツとするのは数学的真理の普遍性に反する」というように数学的普遍性を支える根拠として使用される。
この「同じ」の順序なし派の典型的な解釈をを以下で示す。

式の等価性と同一性を混同している

「交換法則によって\(a \times b = b \times a\)であり、同じ意味であって同じ式であり、掛け算の順序は存在しない」というように彼らの大半は主張する。

たしかに\(a \times b\)と\(b \times a\)の計算結果は同じであるが、異なる式である。順番が逆になっていて表現が異なることから自明である。これを等価と同一を混同していると指摘した。同一な式をイコールで繋いだ例は\(a \times b = a \times b\)である。

例えば、\(3 \times 4\)は指導要領の定義例に従えば\( 3 + 3 + 3 + 3\)と言い換えられる。一方で\(4 \times 3\)は\(4 + 4 + 4\)である。確かに計算結果は両者とも\(12\)ではあるが、別の計算を表しているという意味で異なる式である。

交換法則が掛け算の順序を入れ替えられることだとすると、順序を正順と逆順に区別できることを前提としており、順序の存在を認めなければならない。よって、「交換法則より掛け順はない」という主張は誤りである。

「分かる」とは区別すること

分かるとは分けること、区別することである。順序なし指導は等価と同一を区別しないため、区別が少ないという意味で順序あり指導よりもレベルが低い。

日本では海藻にいろんな名前がある。わかめや昆布やもずくや海ぶどうなどだ。一方で英語では海藻は一緒くたに「seaweed」と呼ばれていて海藻に区別がない。日本の方が英語圏よりも海藻に詳しいのだ。一方、エスキモーは日本人よりも雪に関する多様な語彙を持っているらしい[4]。
区別の多さはその対象に関する理解度の高さの指標と考えられる。

中国での算数の掛け算の定義は「\(因数 \times 因数\)」であり、どの量が前か後ろかという区別が存在しないらしい。これを順序なし派は掛け順が存在しない根拠のひとつと捉える。
しかし、これは中国算数よりも日本の算数の方が区別があって豊かだということであり、誇ってもいいんじゃないかと思う(この例を出したのはたまたま中国の定義例を知っていただけで中国を貶める意図はなく、順序を意識しない定義を採用しただけだと思っているので気分を害された方はゴメンナサイ)。

一方で、社会で算数の掛け順を意識する必要がある場面は思い浮かばないため、算数の掛け順を押し付けることに違和感を覚える気持ちも分かる。しかし、掛け算を初めて導入する小学2年生の算数教育の現場において、掛け順を区別する必要があり得ることは自然なことのように思う。

なぜ社会では掛け算順序を区別しないのか

指導要領解説[2]での長方形の面積に関する説明を抜粋する。

公式としては,第4学年では(長方形の面積)=(縦)×(横)(又は(横)×(縦))と
いった面積の公式が取り上げられている。

このように、長方形の面積に関して掛け算の順序の区別はなされていないことが分かる。

この掛け算の入力は自然数ではないことに注意していただきたい。線分の長さは自然数のように飛び飛びの値ではなく、より自由な値になり得る(実数という)。

順序を区別したりしなかったりでダブルスタンダードじゃないか!」と思われる方がいると思う。
しかし、小学2年生の同数累加の定義は自然数に関するものであり、長方形の面積はそれを実数の範囲に拡張したものであって異なる定義である。

社会では自然数は実数の一部であることは周知の事実なので、掛け算の順序を逆にしたところで違和感を感じないし、順序を区別する必要もないのだと思う。
そして、小学校の掛け順逆でバツされた採点が社会人をギョッとさせてSNSを騒がせるのは、社会人の常識のせいに過ぎないのだ。

(追記)この考察は算数教育の実情とは合わないという指摘を頂いた。ただ、大人のギョッとする感覚の説明としては悪くないと思うので、このまま修正しないでおく。

まとめ

以上で、算数で一方の掛け順の存在を認めることは定義次第では数学的に正しく、交換法則が掛け順強制の否定にはならないことを見てきた。

再度繰り返すが、本記事は掛け算の順序問題の完全な決着を目的としていない。
ただ、この問題の数学的議論の余地を「算数の掛け算の定義の是非」のみに絞ることはできたのかな、と思っている。

本記事をTwitterのリア友のTLを汚した罪やレスバで気分を害された方への贖罪として捧げる。

参考文献

  1. かけ算の順序問題
  2. 小学校学習指導要領解説算数編(H29,文部科学省、P.115など)
  3. 公理
  4. エスキモーの雪の名前は何種類?【隙間リサーチ】
数学
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コメント

  1. 骨頂 より:

    掛け算が非可換となる主な演算
    行列の乗算
    3次元数ベクトルのベクトル外積
    写像の合成 (例えば関数の合成など)
    四元数の乗算
    カップリング

    もう、答え出てるので。掛算に順序はあるんだけど、順序を気にしなくてよい問題を多めに算数で出題すればいいだけ。掛算に順序が無いとか言ってるやつは愚の骨頂の骨頂

    • ごとぅーん より:

      コメントありがとうございます。
      しかし順序なし派は実数以外の非可換な例を出しても「別の話をするな」となって受け付けません。
      自然数の話に実数を持ち出す彼らは自身がダブルスタンダードだということすら気づきません。無敵です。
      カルトとはどういうものかを目の当たりにしました。

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