数学の「ならば」の本当の意味 ~日常会話と真理値表から読み解く~

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対象読者

数学の「ならば」の真理値表について、以下のように思う方

  • 約束事として受け入れるのが気持ち悪い
  • その定義の妥当性を理解し、なぜそう約束したか納得したい

結論

数学の「ならば」の定義(真理値表)を眺めても、日常会話の「ならば」とは全く異なるように見える。しかし、そんなことはない。これを理解するポイントは「寛容の原則」という、論理学の原則にある。

以下では、

  • 数学の「ならば」は日常会話のそれをガッツリ反映していること
  • 数学の「ならば」への勘違いの例

を確認し、論理の要である「ならば」への理解を深める。

まずは、定義を確認しよう。

数学の「ならば」の定義

数学における「ならば\(\Rightarrow\)」は、2つの真理値\(P\)、\(Q\)の入力に対して、1つの真理値を出力する2項演算子だ。足し算が2つの数値を受け取って、1つの数値を返すのと同じ感じだ。

\(P\)と\(Q\)を命題とする。命題とは、真か偽かのいずれかとして判断できる文のことだ。1,2,3のような値を自然数というのと同じで、真、偽のような値を真理値という。

真理値は2通りある。よって、\(P\)と\(Q\)の演算の結果は2×2=4通りある。以下に「\(\Rightarrow\)」の入出力の対応表をまとめる(真理値表という)。

表1.「ならば」の真理値表
\(P\) \(Q\) \(P \Rightarrow Q\)

これが数学における「ならば」の定義だ。

日常会話の「ならば」を「\(\Rightarrow\)」に当てはめる

一見、この表のどこが「ならば」なのか、意味☆不明。そこで、具体例を当てはめて検証してみる。

父が息子に対して、

「テストでいい点数をとったならば、ゲームを買ってあげよう」

と言ったとする。この発言を\(R\)と名付ける。この文を表1に当てはめてみる。すると、

  • \(P\)は「息子がテストで良い点数を取る」
  • \(Q\)は「父が息子にゲームを買ってあげる」
  • \(R\)は、\(P \Rightarrow Q\)

に対応する。それぞれの状況(表1の①から④)を考える。

表1.①の場合(\((P, Q, R) = (真, 真, 真)\))

これは妥当だ。

息子はいい点数を取り\(P\)、父はそれにしっかり報いた訳だ\(Q\)。このとき、発言\(R\)は正しいだろう。

表1.②の場合(\((P, Q, R) = (真, 偽, 偽)\))

これも妥当だ。

息子はいい点数を取った(\(P\))にも関わらず、父はゲームを買ってあげなかった状況だ(\(Q\))。当然、息子は発言\(R\)に対して、「お父さんの嘘つき!」と思うだろう。

表1.③の場合(\((P, Q, R) = (偽, 真, 真)\))

これは妥当か微妙だ

息子が悪い点数を取った(\(P\))のに、父はゲームを買ってくれたのだ(\(Q\))。お父さんチョロいわ~。発言\(R\)は嘘に思える。表1.③の取り決めはおかしい。

一方、父の慈悲により、残念な結果だった(\(P\))が、ゲームを買ってあげた(\(Q\))、という場合もあり得そうだ。この時、発言\(R\)を嘘というのは厳しすぎる気もする。

そもそも、「前提\(P\)通りにならなかったのだから、その結論\(Q\)がどうなろうが知ったことではない。俺は嘘はついてない。」と言われたら、なるほど一理ある。

表1.④の場合(\((P, Q, R) = (偽, 偽, 真)\))

これは妥当だ。

息子が悪い点数を取り(\(P\))、父はゲームを買ってあげなかった(\(Q\))。当然だ。

以上より、「ならば」の真理値表(表1)の定義は日常会話の「ならば」の語感を反映していることを確認したが、表1.③についてのみ疑問が残った。しかし、表1.③の発言\(R\)を真と定義すべきだ、と論理学の原則「寛容の原則」は言っている。

寛容の原則

一見、真偽が明らかに思える主張でも、それ掘り下げると、自信をもって真偽を判定できなくなってしまう。厳密にはどうかはさておき、明らかに偽と言えないならば、真であると見做そうよ。これが寛容の原則だ。

以下のような主張があるとする。それぞれの真偽について考える。

  1. 日本の首都は東京である
  2. 今日は良い天気ですね

1.については一見、正しいように思われる。しかし、それはいつの時代なのか。平安時代なら、この主張は偽となるし、先史時代ならば、そもそも首都と言えるようなところがあったのかも分からない。また、「東京」という語は何を意味しているだろうか。非常識極まりないが、その話者特有の造語かもしれない。

2.については、どうだろう。「純度100%の快晴から毎違いなく良い天気だ。しかし、今日は確かに晴れてはいるが、まばらに曇っているぞ。”良い天気”とはどういった天候のことなのかだろうか。晴れ時々曇りはいい天気なのだろうか…。」などと返事されたらドン引きだ。

以上より、主張を疑いだしたらキリがないし、話ができなくなる。だから、論理学では、寛容の原則に従って考えるのだ。

表1.③の定義は妥当なのか微妙だった。だからこそ、\(P \Rightarrow Q\)(発言\(R\))は真ということにしておこうよ。こうして、「ならば」の真理値表(表1)は完成した。

この真理値表が日常の「ならば」を反映していることは、日常語で「ならば」は別の言い回しができることと同様に、「\(\Rightarrow\)」も別の論理演算子の組み合わせに書き換えることからも窺える(詳細はこちら)。

「ならば」の間違った捉え方(参考※1)

一方、表1の定義を知らない大学生に「ならば」の真理値表を考えてもらうと、以下のような間違った回答が多いようだ。

表2.大学生が考えた「ならば」の真理値表
\(P\) \(Q\) \(P \Rightarrow Q\)

その大学生たちはどのように考えたのだろうか。それは以下のような場面を想定したからのようだ。

とある場面

以下のような\(P \Rightarrow Q\)の発言があるとする。

  1. レポートを提出すれば、単位をあげるよ
  2. 身代金を支払えば、人質は解放する

このとき、③の状況は以下のようになる。

  1. レポートを提出しなかったのに、単位がもらえた
  2. 身代金を支払っていないのに、人質が解放された

落ち着いて考えれば、表1.③の議論と同様、これらの状況と発言は明らかに食い違っているとは言えないはずだ。にも拘らず、なぜ表2.③のように、偽と決めつけてしまっただろうか。

「ならば\(\Rightarrow\)」と「同値\(\Leftrightarrow\)」を混同する

その理由は、実は、大学生たちが考えた「ならば」は純粋なものではなかったからだ。以下のように、暗に、逆方向の「ならば」も考えてしまっていたのだ(\(Q \Rightarrow P\))。

  1. 単位が欲しいならば、レポートを出せ
  2. 人質を解放して欲しいならば、身代金を払え

この逆方向の「ならば」と③の状況は確かに食い違っている。これを根拠に大学生は表2.③を偽と定義したのだ。

\(P \Rightarrow Q\)と\(Q \Rightarrow P\)を同時に満たすような関係を同値といい、「\(P \Leftrightarrow Q\)」と表す。同値は両辺の真理値が同じだった場合は真を、異なる場合は偽を返す。表2は実は、同値の真理値表だったのだ。

日常会話ははやりフワッとしたところがあるので、以上のような間違いをおかしてしまいがちだ。これまでの議論を押さえれば、「ならば」と「同値」の区別ができるので、

  • 意図しない勘違いを引き起こしてしまったり、
  • 誤った結論を下したり

を減らすことができるはずだ。きっと。

参考

  1. 論理学入門 [三浦 俊彦]

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